PENDAHULUAN
Antrian yang panjang sering kali kita lihat di bank saat nasabah mengantri di teller untuk melakukan transaksi, airport saat para calon penumpang melakukan check- in, di super market saat para pembeli antri untuk melakukan pembayaran, di tempat cuci mobil : mobil antri untuk dicuci dan masih banyak contoh lainnya. Di sektor jasa, bagi sebagian orang antri merupakan hal yang membosankan dan sebagai akibatnya terlalu lama antri, akan menyebabkan pelanggan kabur. Hal ini merupakan kerugian bagi organisasi tersebut.
Untuk mempertahankan pelanggan, sebuah organisasi selalu berusaha untuk memberikan pelayanan yang terbaik. Pelayanan yang terbaik tersebut diantaranya adalah memberikan pelayanan yang cepat sehingga pelanggan tidak dibiarkan menunggu (mengantri) terlalu lama. Namun demikian, dampak pemberian layanan yang cepat ini akan menimbulkan biaya bagi organisasi, karena harus menambah fasilitas layanan. Oleh karena itu, layanan yang cepat akan sangat membantu untuk mempertahankan pelanggan, yang dalam jangka panjang tentu saja akan meningkatkan keuntungan perusahaan.

Setelah mempelajari bagian ini diharapkan kita dapat:
1. Mendefinisikan 4 model antrian
2. Memahami adanya tiga komponen dalam sistem antrian
3. Menjelaskan bagaimana melakukan analisis ekonomi sebuah antrian dengan model single channel queuing.

BAB II
A. KARAKTERISTIK SISTIM ANTRIAN

Ada tiga komponen dalam sistim antrian yaitu :
1. Kedatangan , populasi yang akan dilayani (calling population)
2. Antrian
3. Fasilitas pelayanan

Masing-masing komponen dalam sistim antrian tersebut mempunyai karakteristik sendiri-sendiri. Karakteristik dari masing-masing komponen tersebut adalah : Karakteristik Antrian adalah bahwa terdapat kedatangan, antrian, dan pelayanan.

1. Kedatangan Populasi yang akan Dilayani (calling population)

Karakteristik dari populasi yang akan dilayani (calling population) dapat dilihat menurut ukurannya, pola kedatangan, serta perilaku dari populasi yang akan dilayani. Menurut ukurannya, populasi yang akan dilayani bisa terbatas (finite) bisa juga tidak terbatas
(infinite). Sebagai contoh jumlah mahasiswa yang antri untuk registrasi di sebuah perguruan tinggi sudah diketahui jumlahnya (finite), sedangkan jumlah nasabah bank yang antri untuk setor, menarik tabungan, maupun membuka rekening baru, bisa tak terbatas (infinte).Pola kedatangan bisa teratur, bisa juga acak (random). Kedatangan yang teratur sering kita jumpai pada proses pembuatan/ pengemasan produk yang sudah distandardisasi. Pada proses semacam ini, kedatangan produk untuk diproses pada bagian selanjutnya biasanya sudah ditentukan waktunya, misalnya setiap 30 detik. Sedangkan pola kedatangan yang sifatnya acak (random) banyak kita jumpai misalnya kedatangan nasabah di bank. Pola kedatangan yang sifatnya acak dapat digambarkan dengan distribusi statistik dan dapat ditentukan dua cara yaitu kedatangan per satuan waktu dan distribusi waktu antar kedatangan.
Contoh : Kedatangan digambarkan dalam jumlah satu waktu, dan bila kedatangan terjadi secara acak, informasi yang penting adalah Probabilitas n kedatangan dalam periode waktu tertentu, dimana n = 0,1,2,.

Jika kedatangan diasumsikan terjadi dengan kecepatan rata-rata yang konstan dan bebas satu sama lain disebut distribusi probabilitas Poisson Ahli matematika dan fisika, Simeon Poisson (1781 – 1840), menemukan sejumlah aplikasi manajerial, seperti kedatangan pasien di RS, sambungan telepon melalui central switching system, kedatangan kendaraan di pintu toll, dll. Semua kedatangan tersebut digambarkan dengan variabel acak yang terputus-putus dan nonnegative integer (0, 1, 2, 3, 4, 5, dst). Selama 10 menit mobil yang antri di pintu toll bisa 3, 5, 8, dst.

Ciri distribusi poisson:
1. rata-rata jumlah kedatangan setiap interval bisa diestimasi dari data sebelumnya
2. bila interval waktu diperkecil misalnya dari 10 menit menjadi 5 menit, maka pernyataan ini benar
a. probabilita bahwa seorang pasien datang merupakan angka yang sangat kecil dan konstan untuk setiap interval
b. probabilita bahwa 2 atau lebih pasien akan datang dalam waktu interval sangat kecil sehingga probabilita untuk 2 atau lebih dikatakan nol (0).
c. Jumlah pasien yang yang datang pada interval waktu bersifat independent
d. Jumlah pasien yang datang pada satu interval tidak tergantung pada interval yang lain.

Jika kedatangan mengikuti Distribusi Poisson dapat ditunjukkan secara matematis bahwa waktu antar kedatangan akan terdistribusi sesuai dengan distribusi eksponensial. Rumus:
P(T≤ t) = 1 – e-λt 0 ≤ t ≤ ∞

dimana :
P(zT≤ t) = probabilitas di mana waktu antar kedatangan T ≤ suatu waktu tertentu
λ = rata – rata kedatangan persatuan waktu t = suatu waktu tertentu

Suatu faktor yang mempengaruhi penilaian distribusi kedatangan adalah ukuran populasi panggilan .
Contoh : jika seorang tukang reparasi sedang memperbaiki enam buah mesin, populasi panggilan dibatasi sampai dengan enam buah mesin. Dalam hal ini tidak mungkin bahwa kedatangan mengikuti distribusi Poisson sebab tingkat kecepatan kerusakan tidak konstan. Jika lima buah mesin telah rusak, tingkat kedatangan lebih rendah daripada bila seluruh mesin dalam keadaan operasi.
Perilaku kedatangan.
Populasi yang akan dilayani mempunyai perilaku yang berbeda-beda dalam membentuk antrian. Ada tiga jenis perilaku: reneging, balking, dan jockeying. Reneging menggambarkan situasi dimana seseorang masuk dalam antrian, namun belum memperoleh pelayanan, kemudian meninggalkan antrian tersebut. Balking menggambarkan orang yang tidak masuk dalam antrian dan langsung meninggalkan tempat antrian. Jockeying menggambarkan orang yang pindah-pindah antrian.

2. Antrian

Batasan panjang antrian bisa terbatas (limited) bisa juga tidak terbatas (unlimited). Sebagai contoh antrian di jalan tol masuk dalam kategori panjang antrian yang tidak terbatas. Sementara antrian di rumah makan, masuk kategori panjang antrian yang terbatas karena keterbatasan tempat. Dalam kasus batasan panjang antrian yang tertentu
(definite line-length) dapat menyebabkan penundaan kedatangan antrian bila batasan telah tercapai. Contoh : sejumlah tertentu pesawat pada landasan telah melebihi suatu kapasitas bandara, kedatangan pesawat yang baru dialihkan ke bandara yang lain.

3. Fasilitas Pelayanan

Karakteristik fasilitas pelayanan dapat dilihat dari tiga hal, yaitu tata letak (lay out) secara fisik dari sistem antrian, disiplin antrian, waktu pelayanan.

Tata letak

Tata letak fisik dari sistem antrian digambarkan dengan jumlah saluran, juga disebut sebagai jumlah pelayan. Sistem antrian jalur tunggal (single channel, single server) berarti bahwa dalam sistem antrian tersebut hanya terdapat satu pemberi layanan serta satu jenis layanan yang diberikan. Sementara sistem antrian jalur tunggal tahapan berganda (single channel multi server) berarti dalam sistem antrian tersebut terdapat lebih dari satu jenis layanan yang diberikan, tetapi dalam setiap jenis layanan hanya terdapat satu pemberi layanan.

Sistem antrian jalur berganda satu tahap (multi channel single server) adalah terdapat satu jenis layanan dalam sistem antrian tersebut , namun terdapat lebih dari satu pemberi layanan. Sedangkan sistem antrian jalur berganda dengan tahapan berganda (multi channel, multi server) adalah sistem antrian dimana terdapat lebih dari satu jenis layanan dan terdapat lebih dari satu pemberi layanan dalam setiap jenis layanan.

Disiplin antrian

Ada dua klasifikasi yaitu prioritas dan first come first serve. Disiplin prioritas dikelompokkan menjadi dua, yaitu preemptive dan non preemptive. Disiplin preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan sedang melayani seseorang, kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan meskipun belum selesai melayani orang sebelumnya. Sementara disiplin non preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan akan menyelesaikan pelayanannya baru kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan. Sedangkan disiplin first come first serve menggambarkan bahwa orang yang lebih dahulu datang akan dilayani terlebih dahulu.
Dalam kenyataannya sering dijumpai kombinasi dari kedua jenis disiplin antrian tersebut. Yaitu prioritas dan first come first serve. Sebagai contoh, para pembeli yang akan melakukan pembayaran di kasir untuk pembelian kurang dari sepuluh jenis barang (dengan keranjang) di super market disediakan counter tersendiri.
Karakteristik waktu pelayanan. Waktu yang dibutuhkan untuk melayani bisa dikategorikan sebagai konstan dan acak. Waktu pelayanan konstan, jika waktu yang dibutuhkan untuk melayani sama untuk setiap pelanggan. Sedangkan waktu pelayanan acak, jika waktu yang dibutuhkan untuk melayani berbeda-beda untuk setiap pelanggan. Jika waktu pelayanan acak, diasumsikan mengikuti distribusi eksponensial.

B. PERILAKU BIAYA

Dalam sistem antrian ada dua jenis biaya yang timbul. Yaitu biaya karena orang
mengantri, dan di sisi lain biaya karena menambah fasilitas layanan. Biaya yang terjadi karena orang mengantri, antara lain berupa waktu yang hilang karena menunggu. Sementara biaya menambah fasilitas layanan berupa penambahan fasilitas layanan serta gaji tenaga kerja yang memberi pelayanan. Tujuan dari sistem antrian adalah meminimalkan biaya total, yaitu biaya karena mengantri dan biaya karena menambah fasilitas layanan.

BAB III
A. MERUMUSKAN MASALAH ANTRIAN

Perkiraan prestasi dari sistem antrian dapat digambarkan dengan misalnya : rata-rata jumlah kedatangan dalam antrian, rata-rata waktu tunggu dari suatu kedatangan dan persentase waktu luang dari pelayanan.
Ukuran prestasi ini dapat digunakan untuk memutuskan jumlah pelayanan yang harus diberikan, perubahan yang harus dilakukan dalam kecepatan pelayanan atau perubahan lain dalam sistem antrian. Dengan sasaran pelayanan, jumlah pelayan dapat ditentukan tanpa berpatokan pada biaya waktu tunggu.

Ukuran prestasi dan parameter model antrian ditentukan dengan notasi sebagai berikut:
λ = rata-rata kecepatan kedatangan (jumlah kedatangan persatuan waktu)
1/λ = rata-rata waktu antar kedatangan
µ = rata-rata kecepatan pelayanan (jumlah satuan yang dilayani persatuan waktu bila pelayan sibuk).
1/µ = rata-rata waktu yang dibutuhkan pelayan
ρ = faktor penggunaan pelayan (proporsi waktu pelayan ketika sedang sibuk)
Pn = probabilita bahwa n satuan (kedatangan) dalam sistem
Lq = rata-rata jumlah satuan dalam antrian (rata-rata panjang antrian)
Ls = rata-rata jumlah satuan dalam sistem
Wq = rata-rata waktu tunggu dalam antrian
Ws = rata-rata waktu tunggu dalam sistem

Dalam topik ini akan dibahas permasalahan antrian yang didasarkan pada asumsi berikut :

1) Satu pelayanan dan satu tahap.
2) Jumlah kedatangan per unit waktu digambarkan oleh Distribusi Poisson dengan λ = rata-rata kecepatan kedatangan
3) Waktu pelayanan eksponensial dengan µ = rata-rata kecepatan pelayanan
4) Disiplin antrian adalah first come first served (Aturan antrian pertama datang-pertama dilayani) seluruh kedatangan dalam barisan hingga dilayani,
5) dimungkinkan panjang barisan yang tak terhingga.
6) populasi yang dilayani tidak terbatas
7) rata-rata kedatangan lebih kecil dari rata-rata waktu pelayanan

Dari asumsi tersebut dapat diperoleh hasil secara statistik sebagai berikut :
Pw = probabilitas fasilitas layanan sibuk atau faktor utilisasi fasilitas
= λ / µ
Lq = jumlah rata-rata dalam antrian
Lq = µ (µ-λ )
Ls = jumlah rata-rataa di dalam sistem (yang antri dan yang sedang dilayani)
Ls = λ µ − λ
Wq = waktu rata-rata di dalam antrian
Wq = λ µ (µ − λ )
Ws = waktu rata-rata di dalam sistem
Ws = 1 µ − λ

B. APLIKASI MODEL ANTRIAN SINGLE CHANNEL

Sebuah perusahaan yang menyewakan furniture mempunyai satu gudang dengan satu mesin pengangkut yang dioperasikan oleh satu kelompok yang terdiri dari tiga orang tenaga kerja. Pemimpin perusahaan melihat pada jam-jam tertentu terjadi antrian-truk tetapi di saat lain, petugas yang mengoperasikan mesin menganggur. Dari data yang telah lalu, diketahui rata-rata kedatangan 4 truk per jam, dan rata-rata pelayanan 6 truk per jam. Untuk mengatasi masalah tersebut, pimpinan perusahaan merencanakan untuk menambah kelompok tenaga kerja untuk mengoperasikan mesin. Bagaimana dampak penambahan kelompok tenaga kerja terhadap biaya total yang dikeluarkan perusahaan jika biaya sewa truk $ 20 per jam, sedang upah tenaga kerja untuk mengoperasikan mesin $6 per orang per jam. Diasumsukan jika perusahaan menggunakan dua kelompok tenaga kerja maka rata-rata pelayanan menjadi 12 truk per jam dan jika perusahaan menggunakan tiga kelompok tenaga kerja maka rata-rata pelayanan menjadi 18 truk per jam. 1 hari 8 jam kerja.

Jumlah rata-rata dalam antrian
1 kelompok kerja

Lq = λ = 4 =1 332,
µ (µ − λ )
6(6 − 4)

2 kelompok kerja

Lq = λ = 4 = 0 167,
µ (µ − λ )
(12− 4)

3 kelompok kerja

Lq = λ = 4 = ,0 063
µ (µ − λ )

(18− 4)

Jumlah rata-rata di dalam sistem (yang antri dan yang sedang dilayani)